Как решить уравнение правило

Содержание
  1. Уравнения
  2. Советуем посмотреть:
  3. Правило встречается в следующих упражнениях:
  4. Как решать линейные уравнения в математике
  5. Линейное уравнение и его решение
  6. Простое решение
  7. Еще примеры решения линейных уравнений
  8. Универсальный метод
  9. Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
  10. Линейные уравнения
  11. Квадратные уравнения
  12. Системы уравнений
  13. Задание №9 из ОГЭ 2021. Типовые задачи и принцип их решения
  14. Основные правила математики с примерами. 5 класс – Сайт учителя математики Косыхиной Н.В
  15. Натуральные числа
  16. Сравнение натуральных чисел
  17. Свойства сложения
  18. Формула пути
  19. Корень уравнения
  20. Правила решения уравнений
  21. Отрезок
  22. Свойство длины отрезка
  23. Равные отрезки
  24. Свойство прямой
  25. Измерить отрезок
  26. Ломаная
  27. Луч
  28. Угол
  29. Равные углы
  30. Свойство величины угла
  31. Биссектриса угла
  32. Развернутый угол
  33. Прямой угол
  34. Острый угол
  35. Тупой угол
  36. Равные многоугольники
  37. Равные фигуры
  38. Остроугольный треугольник
  39. Прямоугольный треугольник
  40. Тупоугольный треугольник
  41. Равнобедренный треугольник
  42. Равносторонний треугольник
  43. Периметр равностороннего треугольника
  44. Разносторонний треугольник
  45. Прямоугольник
  46. Свойство прямоугольника
  47. Периметр прямоугольника
  48. Квадрат
  49. Периметр квадрата
  50. Умножение
  51. Свойства умножения
  52. Деление с остатком
  53. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  54. Сложение и вычитание смешанных чисел
  55. Преобразование неправильной дроби в смешанное число
  56. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
  57. Свойства десятичной дроби
  58. Уравнение и его корни: определения, примеры
  59. Понятие уравнения
  60. Система уравнений. Подробная теория с примерами
  61. Метод подстановки
  62. Пример 1
  63. Пример 2
  64. Пример 3
  65. Пример 4
  66. Графический метод
  67. Пример 5
  68. Пример 6
  69. Пример 7
  70. Пример 8
  71. Пример 9
  72. Пример 10
  73. Тренировка без подсказок
  74. Примеры 11-16
  75. Краткое изложение раздела и основные формулы
  76. Теперь тебе слово… 

Уравнения

Как решить уравнение правило

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Например: + 5 = 10.

Чтобы решить данное уравнение, требуется найти такое число, при подстановке которого в данное равенство вместо буквы (то есть найти значение переменной), числовое равенство будет верным.

В нашем случае вместо необходимо подставить 5. Говорят, что число 5 – корень уравнения + 5 = 10.

Корень уравнения – это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

Корень уравнения – это решение уравнения. Уравнение может иметь один и более корень или не иметь их вообще. Тогда говорят, что решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет вообще.

Для решения уравнений используют правило нахождения неизвестного:

1) слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Решим уравнение + 125 = 200;

= 200 – 125;

= 75.

Ответ: = 75.
2) уменьшаемого: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решим уравнение – 24 = 36;

= 36 + 24;

= 60.

Ответ: = 60.
3) вычитаемого: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Решим уравнение 135 – = 115;

= 135 – 115;

= 20.

Ответ: = 20.
4) множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Решим уравнение 6 = 42;

= 42 : 6;

= 7.

Ответ: = 7.
5) делимого: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решим уравнение : 12 = 5;

= 5 12;

= 60.

Ответ: = 60.
6) делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Решим уравнение 184 : = 46;

= 184 : 46;

= 4.

Ответ: = 4.

При решении уравнений проводится проверка решения, для этого найденный корень (или корни) подставляются в уравнение вместо переменной. Если числовое равенство получается верным, то решение найдено верно. При оформлении решения проверка записывается под чертой после решения, а затем пишется ответ, при этом каждое действие записывается на новой строке (т.е. одна строка один знак равенства).

Например, решим уравнение + 36 = 45 и проведем проверку:

+ 36 = 45;

  = 45 – 36;

9 + 36 = 45;

45 = 45 – верно.

Ответ: = 9.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 620, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1058, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1352, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1362, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1489, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1756, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1838, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 367, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1088, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1211, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 59, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 84, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 91, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 143, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 174, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 200, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 205, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 328, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 426, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 470, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Нашли ошибку?

Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/1231

Как решать линейные уравнения в математике

Как решить уравнение правило

Уравнение представляет собой математическое утверждение , что два выражения равны, например,  . Решением уравнения является любой набор значений, который может заменить переменные для создания истинного оператора. Рассмотрим какие уравнения являются линейными, как решать линейные уравнения, какие правила для решения линейных уравнений надо знать и применять.

Линейное уравнение и его решение

Линейным называется уравнение, в котором x — переменная входит в первой степени. Почему линейное уравнение называется линейным? Потому что им описывается прямая (линия).

Решать такое уравнение легко и просто  — вам нужно просто разделить по разным сторонам от знака = неизвестные и известные в уравнении.

А далее применить необходимые преобразования, если они нужны, или сразу же найти корень уравнения.

Простое решение

Переменная в уравнении  это и решение будет . Чтобы убедиться в этом, замените значение в уравнении и получите истинное утверждение:

Особенно полезны уравнения, связывающие две переменные. Если мы знаем значение одной из переменных, мы можем найти соответствующее значение другой переменной, решая уравнение.

Пример: Уравнение определяет заработную плату Эмили , где — количество часов, которые необходимо работать в неделю. Сколько часов нужно будет работать Эмили на следующей неделе, если она хочет заработать 3600 рублей?

Решение: Понятно, что в этом случае , подставляем это значение в уравнение и находим :

Итак, получается, что Эмили нужно проработать 60 часов.

Чтобы решить уравнение, мы можем получить более простые уравнения, которые имеют одинаковые решения.

Уравнения, имеющие одинаковые решения, называются эквивалентными уравнениями. Например,

и

имеют одинаковые решения, то есть являются эквивалентными. Это, конечно, написано математически строгим языком, но сложно для понимания школьника.

Объясню проще: пусть нам дано уравнение . Итак, отделим известные от неизвестных. Обычно, неизвестные отправляют в левую часть от знака «=», а известные — отправляют в правую часть, при этом мы при переносе всегда меняем знак на противоположный:

Упростим:

. Это — эквивалентное линейное уравнение самому первому уравнению.

Теперь находим неизвестный множитель:

Итак, корень уравнения .

Желательно, если вы только начинаете решать линейные уравнения, сначала всегда проводите проверку — подставим полученный корень в исходное (самое первое) уравнение:

. Мы получили верное равенство, значит, уравнение решено верно.

Итак, ответ: .

Еще примеры решения линейных уравнений

1.Решите уравнение В данном уравнении x-неизвестный множитель. Вспомним правило:

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Получаем:

Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение — каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки. Недопустимым считается следующее написание: . По правилам математической грамотности, на одной строчке мы пишем , и только на следующей . Будьте грамотны.

Проверка:

.

Ответ: .

2. Решите уравнение . В данном уравнении x — неизвестное слагаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Решение:

Делаем проверку:

.

Ответ:

3. Решите уравнение  . В данном уравнении x- неизвестное вычитаемое. Правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Решение: уменьшаемое у нас 3, а разность 9: .

.

Проверка:

.

Ответ:

4. Решите уравнение . В данном уравнении x- неизвестное уменьшаемое. Правило:

Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решение:

Проверка:

.

Ответ:

5. Решите линейное уравнение . Здесь x — неизвестное делимое. Правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решение:

Проверка:

Ответ: .

6. Решите уравнение . Здесь x-неизвестный делитель. Правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Решение:

Проверка:

.

Ответ:

Это самые простые линейные уравнения. Что же делать если у нас уравнение линейное, но сложное, уровень которого не 3-4 класс, а 7-9? Как решить его?

Универсальный метод

Универсальный метод того, как решать линейные уравнения, заключается в сведении сложного уравнения к простому, правила для которого известны. Понятнее будет на примере:

Вроде есть все — и сложение, и вычитание и деление и умножение. Какое правило применять? Непонятно. Давайте упростим это уравнение. Начнем с его левой части: , тогда в левой части будет:

Теперь приведем две дроби и к общему знаменателю:

. Запишем под одним знаменателем:

. Умножим левую и правую части уравнения на 2. По правилам мы можем умножать левую и правую части уравнения (как и делить) на одно и то же число, отличное от нуля, и это не повлияет на его ответ. Тогда, знаменатель в левой части сократится, и мы получим:

А теперь мы просто находим неизвестный множитель:

Делаем проверку:

.

Вычисляем:

Ответ: .

Метод понятен — постепенными преобразованиями мы привели исходное уравнение к простому, эквивалентному исходному. А затем, просто применили известные правила из начальной школы. Теперь вы знаете, как решать линейные уравнения простые и сложные. Это поможет вам в подготовке к ЕГЭ по математике.

Источник: https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-lineynyie-uravneniya/

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Как решить уравнение правило

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

− 2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Ответ: x = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ;   + ∞ )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D 0 – будет два различных корня:

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

    Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

    a = − 1, b = 4, c = − 4

    D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

    D = 0 – будет один корень:

    x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

    Ответ: x = 2

    a = 2, b = − 7, c = 10

    D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

    D 0 – будет два различных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

    Корни, полученные на предыдущем шаге:

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    ОДЗ: x ≠ 2

    Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

    Ответ: x = − 3.

    Системы уравнений

    Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

    Пример системы уравнений

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

    Существует два метода решений систем линейных уравнений:

    1. Метод подстановки.
    2. Метод сложения.

    Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
    2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
    3. Решить уравнение с одной неизвестной.
    4. Найти оставшуюся неизвестную.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом подстановки

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решение:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    { x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    1. Решить уравнение с одной неизвестной.

    3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    24 − 6 y − y = − 4

    − 7 y = − 4 − 24

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    y = 4

    1. Найти оставшуюся неизвестную.

    y = 4

    x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Решение системы уравнений методом сложения.

    Метод сложения основывается на следующем свойстве:

    если

    { a = b c = d

    то

    ( a + c ) = ( b + d )

    Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом сложения

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты.

    Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) .

    Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

    { x + 2 y = 8   |   ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4

    { ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4

    Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕

    ( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

    − 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

    x + 2 y = 8

    x + 2 ⋅ 4 = 8

    x + 8 = 8

    x = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Задание №9 из ОГЭ 2021. Типовые задачи и принцип их решения

    Скачать домашнее задание к уроку 4.

    Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-4-uravneniya-sistemy-uravnenij/

    Основные правила математики с примерами. 5 класс – Сайт учителя математики Косыхиной Н.В

    Как решить уравнение правило

    › 5 Класс › Основные правила математики с примерами. 5 класс

    • Натуральные числа
    • Сравнение натуральных чисел
    • Свойства сложения
    • Формула пути
    • Корень уравнения
    • Правила решения уравнений
    • Отрезок, прямая, луч
    • Угол, биссектриса угла
    • Углы: развернутый, прямой, острый, тупой
    • Многоугольники. Равные фигуры
    • Треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный
    • Треугольники: равнобедренный, равносторонний, разносторонний
    • Прямоугольник. Квадрат. Периметр
    • Умножение. Свойства умножения
    • Деление. Деление с остатком
    • Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника
    • Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба
    • Дроби: правильная, неправильная, сравнение дробей
    • Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    • Сложение и вычитание смешанных чисел
    • Преобразование неправильной дроби в смешанное число
    • Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
    • Десятичные дроби: свойства, сравнение, округление
    • Десятичные дроби: сложение, вычитание
    • Десятичные дроби: умножение, деление
    • Среднее арифметическое
    • Процент

    Натуральные числа

    Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и т. д., которые используют при счете предметов, называют натуральными.

    Сравнение натуральных чисел

    Число меньше любого натурального числа.

    03559

    Свойства сложения

    Переместительный закон: 

    15+10=10+15

    Сочетательный закон:

    (23+15)+25=23+(15+25)

    Формула пути

    S=V·t,где S — пройденный путь, V — скорость движения, t — время, за которое пройден путь S

    = 50км,  = 2ч,  = 25км/ч

    ,   50км = 25км/ч· 2ч

    ,   25км/ч = 50км : 2ч

    ,   2ч = 50км : 25км/ч

    Корень уравнения

    Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке его вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство.

    2·x+10=16

    x = 3 – корень, так как 2·3+10=16

    Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

    Правила решения уравнений

    • Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

    20слагаемое+xслагаемое=100суммаx = 100 – 20x = 80

    • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности при­бавить вычитаемое.

    xуменьшаемое–10вычитаемое=40разностьx = 40 + 10x = 50

    • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

    50уменьшаемое–xвычитаемое=40разностьx = 50 – 40x = 10

    • Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение раз­делить на известный множитель.

    xмножитель·7множитель=56произведениеx = 56 : 7x = 8

    • Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

    xделимое:8делитель=9частноеx = 9 · 8x = 72

    • Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

    42делимое:xделитель=7частноеx = 42 : 7x = 6

    Отрезок

    Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками(концами) и все точки между этими концами(внутренние точки отрезка)

    Свойство длины отрезка

    Если на отрезке отметить точку , то длина отрезка равна сумме длин отрезков и .

    Равные отрезки

    Два отрезка называют равными, если они совмещаются при наложении.

    Свойство прямой

    Через две точки проходит только одна прямая.

    Измерить отрезок

    Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нем помещается

    Ломаная

    Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных друг с другом

    Луч

    Луч (полупрямая) — это геометрическая фигура, часть прямой, состоящая из точки(начала луча) и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от начала луча.В названии луча присутствуют две буквы, например, . Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

    Угол

    Фигуру, образованную двумя лучами, имеющими общее начало, называют углом.

    Равные углы

    Два угла называют равными, если они совмещаются при наложении.

    Свойство величины угла

    Если между сторонами угла ∠ провести луч , то градусная мера  ∠ равна сумме градусных мер углов ∠ и ∠, то есть ∠ = ∠+ ∠.

    Биссектриса угла

    Луч, который делит угол на два равных угла, называется биссектрисой угла.

    Развернутый угол

    Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым. Градусная мера развернутого угла равна 180°.

    Прямой угол

    Угол, градусная мера которого равна 90°, называют прямым.

    Острый угол

    Угол, градусная мера которого меньше 90°, называют острым.

    Тупой угол

    Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым.

    Равные многоугольники

    Два многоугольники называют равными, если они совмещаются при наложении.

    Равные фигуры

    Две фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении.

    Остроугольный треугольник

    Если все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником.

    Прямоугольный треугольник

    Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником.

    Тупоугольный треугольник

    Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником.

    Равнобедренный треугольник

    Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

    Равносторонний треугольник

    Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

    Периметр равностороннего треугольника

    Если сторона равностороннего треугольника равна , то его периметр вычисляют по формуле

    Разносторонний треугольник

    Если три стороны треугольника имеют разную длину, то его называют разносторонним треугольником.

    Прямоугольник

    Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

    Свойство прямоугольника

    Противоположные стороны прямоугольника равны.

    Периметр прямоугольника

    Если соседние стороны прямоугольника равны и , то его периметр вычисляют по формуле

    Квадрат

    Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом.

    Периметр квадрата

    Если сторона квадрата равна , то его периметр вычисляют по формуле .

    Умножение

    • Произведением числа на натуральное число , которое не равно 1, называют сумму, состоящую из  слагаемых, каждый из которых равен . В равенства    числа  и называют множителями,  а число и запись  — произведением.

    • Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно второму множителю.
    • Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
    • Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

    Свойства умножения

    • Переместительный закон умножения:
    • Сочетательный закон умножения: 
    • Распределительное свойство умножения относительно сложения:  

    2·(3+10) = 2·3 + 2·103·11 + 3·4 = 3·(11 + 4)

    • Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

    2·(15–7) = 2·15 – 2·73·10 – 3·4 = 3·(10 – 4)

    Для натуральных чисел равенство   является правильным, если является правильным равенство

    15 : 5 = 3 -правильное равенство, так как  равенство 5 · 3 = 15 верное

    В равенстве    число называют делимым, число — делителем, число и   запись  – частным от деления, отношением, долей.

    На ноль делить нельзя.

    Для любого натурального числа  правильными являются равенства:

    ,

    Деление с остатком

    , где  — делимое, — делитель, — неполное частное, — остаток, .

    154делимое=50делитель · 3неполное частное + 4остаток,    4

    • Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которого меньше, и меньшая та, знаменатель которой больше.
    • Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные — больше или равны единице.
    • Любая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

    Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    • Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
    • Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

    Сложение и вычитание смешанных чисел

    • Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.
    • Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо от целой и дробной части уменьшаемого вычесть соответственно целую и дробную части вычитаемого.

    Преобразование неправильной дроби в смешанное число

    Чтобы неправильную дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, нужно

    • числитель разделить на знаменатель;
    • полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

    227= смешанное число? 7322–211  227=317      

    Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

    Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь нужно

    • целую часть числа умножить на знаменатель дробной части;
    • к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
    • эту сумму записать как числитель неправильной дроби;
    • в его знаменателе записать знаменатель дробной части смешанного числа.

    523= неправильная дробь?523=5*3+23=15+23=173

    Свойства десятичной дроби

    Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получим дробь, равную данной.

    Значение дроби, которая заканчивается нулями, не изменится, если последние нули в его записи отбросить.

    2,23  = 2,230 = 2,230000005,50000=5,50000=5,5

    Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

    Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и разным количеством цифр после запятой, надо

    • с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях,
    • после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

    Сравнить 5,03 и 5,0375.5,03⏟2=5,0300⏟4    и     5,0375⏟4  ; 5,0300 

    Источник: https://blackseaweb.ru/5-klass/pravila-po-matematike-5-klass/

    Уравнение и его корни: определения, примеры

    Как решить уравнение правило

    После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

    Понятие уравнения

    Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

    Определение 1

    Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

    Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

    Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

    После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др.

    Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10.

    Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

    Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

    В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

    Определение 2

    Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

    То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.

    В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

    Определение 3

    Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

    К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

    Система уравнений. Подробная теория с примерами

    Как решить уравнение правило

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?

    Все, что нужно знать о решении системы уравнений – в этой статье.

    Помни, твоя цель – хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты. 

    Let's go… (Поехали!) 

    Система уравнений и методы ее решения Краткое изложение раздела и основные формулы

    Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

    Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

    Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

    Метод подстановки

    Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий.

    Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

    Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.

    После его решения и нахождения одной из переменных – последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

    Непонятно?

    Давай рассмотрим на примере

    Пример 1

    Из второго уравнения очень просто выразить  :

    Теперь подставим то, что получилось вместо   в первое уравнение:

    Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

    А теперь вернемся к выраженному   и подставим в него полученное значение  :

     .

    Итак,

    Ответ:  

    Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде:  .

    В случае трех неизвестных:  , и так далее.

    То есть ответ в нашем примере запишется так:

    Ответ:  

    Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

    Пример 2

    1) Здесь проще всего выразить   из второго уравнения неравенства –

     , а затем подставить в первое.

    Ответ:  

    Пример 3

    Выражаем   из второго уравнения и подставляем в первое.

    Ответ:  

    Пример 4

    Здесь лучше выразить   из первого уравнения:

     , а затем уже подставлять во второе.

    Ответ:  

    Графический метод

    Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

    Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

    Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

    Пример 5

    Для этого сперва выразим   в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно  ):

    Видно, что графики пересекаются в точке с координатами  .

    Графический метод – самый неточный.

    Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые.

    Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

    Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

    То есть:

    (но ни в коем случае не наоборот:  )

    Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число  :

    Но раз  , в правой части можем заменить   на  :

     .

    Пример 6

    Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

     .

    Вот как!   просто уничтожился в результате сложения.

    Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

    Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо   число  :

    Ответ:  

    Пример 7

    Очевидно, здесь сложение ничего не даст.

    Придется решать другим методом?

    Нет!

    Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? 

    Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.

    Лучше всего умножить на  :

    Теперь можно складывать:

    Теперь подставим   в первое уравнение системы:

    Ответ:  

    Теперь порешай сам (методом сложения):

    Пример 8

    1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?

    Хм….

    Как из   получить   или из   получить  ?

    Умножать на дробное число?

    Слишком громоздко получится.

    Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на  , второе на  :

    Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти  .

    Подставляем в любое из уравнений и находим  .

    Ответ: .

    Пример 9

    2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на  , а второе на  , и сложить.

    Ответ:  .

    3. Первое умножаем на  , а второе на   и складываем.

    Ответ:  .

    Пример 10

    4. Умножать можно и на дроби, то есть делить.

    Умножим первое уравнение на  , а второе на  :

    Теперь сложим уравнения:

    Подставив в первое уравнение, найдем  :

    Ответ:  

    Тренировка без подсказок

    Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

    Примеры 11-16

    Как видишь, система уравнений – базовая, но не самая сложная тема!

    Используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

    Краткое изложение раздела и основные формулы

    Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

    Методы решения систем уравнений:

    1. Решение методом подстановки

    Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

    Повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

    2. Решение графическим методом

    Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

    Графический метод – самый неточный.

    Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые.

    Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

    3. Решение методом сложения

    Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

    То есть:

    Но ни в коем случае не наоборот:

    Теперь тебе слово… 

    Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.

    Теперь хотелось бы послушать тебя…

    Как тебе статья?

    Получается ли у тебя решать системы уравнений?

    У тебя есть вопросы? Предложения?

    Источник: https://youclever.org/book/sistemy-uravnenij-1

О ваших правах
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: