Как найти площадь неправильного четырехугольника зная длины сторон

Содержание
  1. Площади четырехугольников
  2. Формулы для площадей четырехугольников
  3. Вывод формул для площадей четырехугольников
  4. Площадь четырехугольника
  5. Площадь четырехугольника по сторонам
  6. Площадь четырехугольника, заданного координатами
  7. Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы
  8. Page 3
  9. Page 4
  10. Page 5
  11. Page 6
  12. Page 7
  13. Как найти площадь четырехугольника
  14. Многоугольник произвольный
  15. Многоугольник в окружности
  16. 2 Как найти площадь четырехугольника – трапеции
  17. 3 Как найти площадь четырехугольника – дельтоида
  18. 4 Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма
  19. Общее выражение
  20. Ромб
  21. Прямоугольник
  22. Квадрат
  23. Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами
  24. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
  25. [] Формулы в векторной и координатной форме
  26. Формула расчета площади неправильного многоугольника
  27. Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами
  28. Площадь выпуклого четырехугольника
  29. Формулы площади выпуклого четырехугольника
  30. Площадь участка сложной формы
  31. Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум диагоналям

Площади четырехугольников

Как найти площадь неправильного четырехугольника зная длины сторон

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Четырехугольники

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникS = aba и b – смежные стороны
Посмотреть вывод формулыd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
S = 2R2 sin φПолучается из верхней формулы подстановкой d=2RR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналями
ПараллелограммS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = absin φПосмотреть вывод формулыa и b – смежные стороны,φ – угол между ними
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
КвадратS = a2a – сторона квадрата
S = 4r2r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd – диагональ квадрата
S = 2R2Получается из верхней формулы подстановкой d = 2RR – радиус описанной окружности
РомбS = a haПосмотреть вывод формулыa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторону
S = a2 sin φПосмотреть вывод формулыa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромба
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
S = 2arПосмотреть вывод формулыa – сторона,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромба
ТрапецияПосмотреть вывод формулыa и b – основания,h – высота
S = m hm – средняя линия,h – высота
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Посмотреть вывод формулыa и b – основания,c и d  – боковые стороны
ДельтоидS = ab sin φa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
a и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rПосмотреть вывод формулыa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружности
Посмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали
Произвольный выпуклый четырёхугольникПосмотреть вывод формулыd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между ними
Вписанный четырёхугольник,Посмотреть вывод формулы Брахмагуптыa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметр,Формулу называют «Формула Брахмагупты»
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороныПосмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
,гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты
Прямоугольник
S = abгдеa и b – смежные стороны
гдеd – диагональ,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиПосмотреть вывод формулы
S = 2R2 sin φгдеR – радиус описанной окружности,φ – любой из четырёх углов между диагоналямиФормула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Параллелограмм
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = absin φгдеa и b – смежные стороны,φ – угол между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Квадрат
S = a2гдеa – сторона квадрата
S = 4r2гдеr – радиус вписанной окружности
гдеd – диагональ квадратаПосмотреть вывод формулы
S = 2R2гдеR – радиус описанной окружностиПолучается из верхней формулы подстановкой d = 2R
Ромб
S = a haгдеa – сторона,ha – высота, опущенная на эту сторонуПосмотреть вывод формулы
S = a2 sin φгдеa – сторона,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
S = 2arгдеa – сторона,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеr – радиус вписанной окружности,φ – любой из четырёх углов ромбаПосмотреть вывод формулы
Трапеция
гдеa и b – основания,h – высотаПосмотреть вывод формулы
S = m hгдеm – средняя линия,h – высота
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
гдеa и b – основания,c и d  – боковые стороны,Посмотреть вывод формулы
Дельтоид
S = ab sin φгдеa и b – неравные стороны,φ – угол между ними
гдеa и b – неравные стороны,φ1 – угол между сторонами, равными a ,φ2 – угол между сторонами, равными b.
S = (a + b) rгдеa и b – неравные стороны,r – радиус вписанной окружностиПосмотреть вывод формулы
гдеd1, d2 – диагоналиПосмотреть вывод формулы
Произвольный выпуклый четырёхугольник
гдеd1, d2 – диагонали,φ – любой из четырёх углов между нимиПосмотреть вывод формулы
Вписанный четырёхугольник
гдеa, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,p – полупериметрФормулу называют «Формула Брахмагупты»Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AE – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7).

Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

Площадь четырехугольника

Как найти площадь неправильного четырехугольника зная длины сторон

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям.

В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними.

Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон.

Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу.

Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:
используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A(2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB:
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-chetyrexugolnika/

Как найти площадь четырехугольника

Как найти площадь неправильного четырехугольника зная длины сторон

При решении планиметрических заданий курса геометрии нередко встречается фигура с 4-мя сторонами. Да, речь идет о четырехугольнике.

Произвольный многоугольник с четырьмя углами встречается реже, чем его частные случаи, – трапеции, дельтоиды, параллелограммы. В последнюю «группу» входят также ромбы, прямоугольники, квадраты.

Рассмотрим, какие данные фигуры необходимо знать, чтобы рассчитать ее площадь.

Многоугольник произвольный

Для нахождения его площади вам потребуются диагонали фигуры, а также угол, полученный как результат их пересечения.

  • S = (d1*d2*sinα)/2,
  • d1, d2 – диагонали,
  • α – угол, полученный путем их пересечения.

Многоугольник в окружности

Если заданный четырехугольник помещен в окружность, известна длина сторон фигуры, то в определении площади многоугольника поможет соотношение:

S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e – его стороны.

2

Как найти площадь четырехугольника – трапеции

Данную фигуру отличает наличие параллельных 2-ух сторон. Чтобы определить площадь такого многоугольника воспользуйтесь такими параметрами:

  • Если известны величины параллельных сторон и перпендикуляра-высоты, проведенной к ним, площадь вычисляется с помощью выражения S = ((a + b)*h)/2,a и b – основания,h – перпендикуляр-высота.
  • Исходя из определения линии средины (k = (a + b)/2)), предыдущая формула приобретет следующий вид: S = k*h,k – линия средины.Известные диагонали трапеции и градусная мера угла, образованная в результате их пересечения, также помогут определить площадь фигуры: S = (d1*d2*sinβ)/2,d1, d2 – диагонали,β – угол, полученный путем их пересечения.
  • Заданы 4 стороны: S = ((m + l)√k2 – ((m – l)2 + k2– d2)2/(4(m – l)2))/2,m, l – стороны параллельные,k, d – стороны боковые.

3

Как найти площадь четырехугольника – дельтоида

Многоугольник-дельтоид характеризуется наличием 2-ух пар равных сторон. Вычислить площадь такого четырехугольника рассчитывается следующим образом:

  • Известны стороны фигуры и угол, образованный сторонами разной длины:S = m*l*sinϕ,m, l – стороны дельтоида,ϕ – угол между ними.
  • Известны стороны фигуры и углы, образованные сторонами равной длины:S = m2*sinα/2 + l2*sinβ/2,m, l – стороны дельтоида,α, β – углы между равными сторонами.
  • Наличие известных диагоналей также позволяет определить площадь фигуры:S = d1*d2/2,d1, d2 – диагонали дельтоида.
  • Если в фигуру вписана окружность, то знание ее радиуса позволяет вычислить площадь дельтоида: S = (m + l)*r,m, l – стороны дельтоида,r – радиус в случае вписанной окружности.

4

Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма

Если выпуклый многоугольник имеет 2 пары непересекающихся сторон, то перед вами – параллелограмм.

Общее выражение

Для определения площади данного вида фигуры потребуются:

  • Сторона четырехугольника и высота, на нее опущенная: S = k*h(k),k – сторона фигуры,h(k) – высота к ней.
  • Длина двух сторон, имеющих одну вершину, и градусная мера угла при данной вершине:S = l*k*sinϕ,k, l – стороны многоугольника,ϕ – угол между ними.
  • Диагонали фигуры и угол, полученный как результат их пересечения: S = d1*d2*sinβ/2,d1, d2 – диагонали,β – угол – результат их пересечения.

Ромб

Данный четырехугольник – частный случай параллелограмма, имеющий 4 равные стороны. Поэтому выражения, справедливые для параллелограмма, верны и для него. Тогда

  • S = k*h(k),k – сторона фигуры, h(k) – высота к ней.
  • S = k2*sinϕ,k – сторона четырехугольника, ϕ – угол между сторонами.
  • S = d1*d2/2 (т.к. диагонали фигуры при пересечении образую прямой угол, а sin90° = 1),d1, d2 – диагонали многоугольника.

Прямоугольник

Такой многоугольник имеет 2 пары равных сторон, а градусная мера его углов – 90°. Для нахождения его площади справедливы следующие выражения:

  • S = k*l,k, l – стороны фигуры.
  • S = d2*sinβ/2,d – диагонали четырехугольника, β – угол – результат их пересечения.
  • S = 2R2*sinβ,R – радиус в случае описанной окружности.

Квадрат

В данном случае у соотношения, полученные на предыдущем этапе, приобретут следующий вид (т.к. стороны такого вида прямоугольника равны):

  • S = k2, k – сторона фигуры.
  • S = d2/2, d – диагональ квадрата.
  • S = 2R2, R – радиус в случае описанной окружности.
  • S = 4r4, r – радиус в случае вписанной окружности.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-ploshhad-chetyrehugolnika

Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами

Как найти площадь неправильного четырехугольника зная длины сторон

асти ф изики, химической, электрической, эле ктроника, Строительство и гражданских, оптики и лазерн ой, механической, финансов, нефти и газа, структурных и т. Даже несколько средних школ исп ользует наш сайт в свои учебные пр ограммы и препод авать в своем кла ссе в школе. Источник: http://vlad1.ru/kak-vychislit-ploschad-uchastka-s-raznymi-storonami/

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность.

Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

[] Формулы в векторной и координатной форме

Введём обозначения: [math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки; [math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки; [math]\bar r_3=(x_3,y_3,z_3)[/math] — радиус-вектор третьей точки; [math]\bar r_4=(x_4,y_4,z_4)[/math] — радиус-вектор четвёртой точки; [math]\bar n=(A,B,C)[/math] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки; SΔ — площадь треугольника, построенного по трём заданным точкам; Sчетыр — площадь четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам. где

Формула расчета площади неправильного многоугольника

  1. Калькулятор для расчета площади
  2. Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:
  3. Математические калькуляторы
  1. Прямоугольник;
  2. Параллелограмм;
  3. Сектор круга;
  4. Круг;
  1. Треугольник;
  2. Эллипс;
  3. Трапеция.
  4. Правильный многоугольник;

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля).

Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка. Правильный многоугольник DeutschEnglishEspañolFrançaisРусскийУкраїнська Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь четырехугольника.

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных. Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной.

Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров.

Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров. Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного. Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей.

При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид: S = ((a + b+ c + d)/2)*r Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид: S = ((a + b+ c + d)/2)*r Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим: S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой: S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра.

Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Площадь выпуклого четырехугольника

Диагональ 1Диагональ 2Угол между диагоналями°′″Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2РассчитатьПлощадь save Сохранить share extension Виджет

  • Вы знаете длины четырех сторон и размеры двух противолежащих углов. Тогда площадь четырехугольника можно найти по формуле Бретшнайдера.

, где s — полупериметр.

Калькулятор:

Формулы площади выпуклого четырехугольника

  • Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности S = p · r
  • Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)
  • Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними: S = 1d1 d2 sin α2 где S — площадь четырехугольника, d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.
  • Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ где S — площадь четырехугольника, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника, p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника, θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Площадь участка сложной формы

Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор.

Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор.

Зачем нужно знать площадь полаОпределение площади прямоугольного помещенияРасчет площади комнаты неправильной планировкиУзнаём площадь треугольного помещенияКак рассчитать площадь стен комнатыКак рассчитать площадь стен комнаты Пропорции между площадью пола и окон Невозможно проводить ремонт напольной поверхности, не зная точную площадь пола в частном домовладении или квартире. Дело в том, что сегодня стоимость строительных материалов достаточно высокая, и каждый владелец недвижимости старается максимально сэкономить на их покупке.

Поэтому информация, как рассчитать площадь пола, не будет лишней для того, кто предпочитает делать ремонт собственноручно.

Площадь четырехугольника по четырем сторонам и двум диагоналям

Сторона aСторона bСторона cСторона dДиагональ eДиагональ fТочность вычисленияЗнаков после запятой: 2РассчитатьПлощадь save Сохранить share extension Виджет

  • Вы знаете длины четырех сторон и то, что четырехугольник является вписанным в окружность. Тогда вы имеете дело с частным случаем формулы Бретшнайдера (сумма двух противолежащих углов известна и равна 180), известным как формула Брахмагупты.

, где s — полупериметр Для вычисления можно использовать калькулятор выше, введя произвольно два угла так, чтобы их сумма составляла 180. Вывод самих формул Бретшнайдера можно посмотреть .

Ну и напоследок еще раз упомяну, что зная только длины четырех сторон вычислить площадь четырехугольника нельзя, так как нельзя однозначно определить его вид — нужно еще какое-нибудь ограничивающее условие.

Так как у нас на сайте довольно часто просили посчитать площадь четырехугольника только по четырем сторонам, то еще есть вот такой вот шуточный калькулятор: , который бесконечно рассчитывает такие площади.

О ваших правах
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: